補題
A を環、 I, J を A のイデアルとする。
JA_P ⊂ IA_P が A の全ての極大イデアルで成立つなら
J ⊂ I である。

証明
J の元 x で I に含まれないものがあるとする。
I : x は A のイデアルで A と異なる。
よって I : x ⊂ P となる A の極大イデアル P がある。
よって (I : x)_P ⊂ PA_P である。>>584 より IA_P : xA_P ⊂ PA_P
である。
一方 x ∈ J だから仮定より xA_P ⊂ IA_P であり、IA_P : xA_P = A_P
となる。よって A_P ⊂ PA_P となる。これは矛盾である。
証明終