補題
A を環、 S を A の積閉部分集合とする。
M を A-加群、N を M の A-部分加群とする。
x を M の元とする。
このとき (N : x)_S = N_S : x/1 となる。
ここで右辺の x/1 は x の標準射 M → M_S による像である。

証明
A の元 a に ax (mod N) を対応させることにより
A-加群の射 A → M/N が得られる。
よって次の完全列が得られる。
0 → N : x → A → M/N

これに _S を作用させて、完全列
0 → (N : x)_S → A_S → M_S/N_S
が得られる。
これから (N : x)_S = N_S : x/1 となる。
証明終