>>580 の続き。

λ を割る Z[η] の素イデアルは P = Z[η] ∩ Q のみである。
よって、>>479 より λZ[η] = P^s となる有理整数 s > 0 がある。
よって λZ[η]_P = (P^s)Z[η]_P となる。
これから P の λZ に対する分岐指数は s である。
一方、>>580 より P の λZ に対する分岐指数は e だから
s = e である。つまり、λZ[η] = P^e である。

同様に、P を割る Z[ζ] の素イデアルは Q のみであるから、
PZ[ζ] = Q^t となる有理整数 t > 0 がある。
よって PZ[ζ]_Q = (Q^t)Z[ζ]_Q となる。
これから Q の P に対する分岐指数は t である。
一方、>>580 より Q の P に対する分岐指数は f だから
t = f である。つまり、PZ[ζ] = Q^f である。