>>576 の続き。

Z[η] の素イデアルで λ を含むものを P とする。
>>576 より Z[η]_P は Q(η) の離散付値環である。

Z[η] = A, Z[ζ] = B とおく。
>>359 より B は A-自由加群で 1, ζ, ..., ζ^(f-1) がその基底
である。前スレ１の85と145より B_P は B と A_P の A 上のテンソル積
とみなせるから A_P 上の自由加群で 1, ζ, ..., ζ^(f-1) がその
基底である。
よって B_P/PB_P は体 A_P/PA_P 上の f 次元のベクトル空間である。

>>576 のように Q = (1 - ζ) とおけば >>537 より B_Q は Q(ζ) の
離散付値環である(注意：Q(ζ)の Q は有理数体を表す)。
>>569 より B_P = B_Q である。
よって PB_P = (Q^m)B_Q となる有理整数 m > 0 がある。
よって B_P/PB_P を B_P 上の加群とみたとき、その長さ(前スレ１の288)は
leng(B_P/PB_P) = leng(B_Q/(Q^m)B_Q) = m である。

B_Q/QB_Q は有限素体 Z/λZ に同型である。
>>576 より P = A ∩ Q であり A_P/PA_P は B_Q/QB_Q の部分体と
みなせるから、これも Z/λZ に同型である。
よって f = [B_P/PB_P : A_P/PA_P] = leng(B_Q/(Q^m)B_Q) = m
となる。ここで [V : K] は 体 K 上のベクトル空間 V の次元を表す。