>>568 の続き

Z[η]_P = R を示そう。

Z[η] が 次元１のネーター整閉整域であることは簡単に示されるので、
前スレ２の585から Z[η]_P は離散付値環である。
これと Z[η]_P ⊂ R と >>561 から Z[η]_P = R が言える。

しかし、ここでは P の上にある B = Z[ζ] の素イデアルが Q のみ
という特殊な状況を利用して Z[η]_P = R を示そう。

まず B_P = B_Q となることを示す。ここで B_P は B の積閉部分集合
S = Z[η] - P による局所化(前スレ１の65)である。
B_P の素イデアルは B の素イデアル Q' で S と交わらないもの
つまり Q' ∩ S = φ となるものと１対１に対応する。
これは Q' ∩ Z[η] ⊂ P と同値である。Q' ∩ Z[η] は Z[η] の
素イデアルで P に含まれるから 0 または P である。
これから B_P は局所環でその極大イデアルは Q(B_P) である。

S ⊂ B - Q だから B_P ⊂ B_Q である。
s ∈ B - Q とする。
s は Q(B_P) に含まれないから B_P の可逆元である。
よって 1/s ∈ B_P である。よって B_Q ⊂ B_P である。
これで B_P = B_Q が証明された。