>>564 の続き

P_0 ∩...∩ P_(r-1) = pZ[η] において r > 1 と仮定する。

P_1 ∩...∩ P_(r-1) ⊂ P_0 では有り得ない。
もしそうなら (P_1)...(P_(r-1)) ⊂ P_1 ∩...∩ P_(r-1) ⊂ P_0
であり、P_0 は素イデアルだからある i > 0 に対して
P_i ⊂ P_0 となり、P_i = P_0 となって 各 P_i が相異なるという
前提に反する。

P_1 ∩...∩ P_(r-1) の元 ξ で P = P_0 に含まれないものがある。
当然 ξ ≠ 0 である。

P の任意の元 x に対して ξx ∈ P_0 ∩...∩ P_(r-1) = pZ[η]
となる。よって ξx = py となる y ∈ Z[η] がある。
x = p(y/ξ) だから x ∈ p(Z[η]_P) である。
よって P(Z[η]_P) = p(Z[η]_P) である。
よって >>534 より Z[η]_P は離散付値環である。

r = 1 のときは P = pZ[η] だから、このときも
P(Z[η]_P) = p(Z[η]_P) となり Z[η]_P は離散付値環である。