>>563 の続き。

Z[ζ] = Z[η][ζ] は Z[η]-加群として有限生成である。
よって、中山の補題(前スレ１の242)より PZ[ζ] ≠ Z[ζ] である。
よって、PZ[ζ] を含む Z[ζ] の極大イデアル Q がある。
P = Z[η] ∩ Q である。

Z ∩ P = pZ であるが、ここでまず p ≠ λ の場合を考える。

p の mod λ の指数を f' とする。e' = (λ - 1)/f' とおく。
p を含む Z[ζ] の極大イデアルは e' 個ある。
これ等を Q_0, .., Q_(e'-1) とおく。Q_0 = Q とする。

Z[η] ∩ Q_i は Z[η] の 0 でない素イデアルだから極大イデアル
である。これ等のなかで相異なるものを P_0, ..., P_(r-1) とする
P_0 = P とする。

Q_0 ∩...∩ Q_(e'-1) = pZ[ζ] である。
よって P_0 ∩...∩ P_(r-1) = Z[η] ∩ pZ[ζ] である。
ここで Z[η] ∩ pZ[ζ] = pZ[η] を証明しよう。

x ∈ Z[η] ∩ pZ[ζ] とする。
y ∈ Z[ζ] で x = py とする。
Z[ζ] の自己同型 τ で Z[η] の各元を固定するものをとる。
x = τ(x) = pτ(y) より τ(y) = y となる。
よって y ∈ Z[η] である。
これで Z[η] ∩ pZ[ζ] ⊂ pZ[η] が言えた。
逆の包含関係は明らかである。

以上から P_0 ∩...∩ P_(r-1) = pZ[η] である。