>>545 の続きに戻る。

Z[η] の商体 Q(η) の素因子を決定しよう。
Q(η) の離散付値を ν とする。
νの付値環を R とする。
R の極大イデアルを m とする。
Z[η] は Z 上整である。一方 >>541 より R は整閉で Z を含むから
Z[η] ⊂ R である。

ここで Z[η] ∩ m = 0 では有り得ない。
何故なら Z[η] ∩ m = 0 とすると Z[η] の非零元 x に対して
常に ν(x) = 0 となる。そうすると Q(η) の非零元 y に対して
常に ν(y) = 0 となり、離散付値の定義(>>546 の 2))に反する。

よって P = Z[η] ∩ m は Z[η] の 0 でない素イデアルである。
Z[η]_P ⊂ R である。

>>551 より ν は有理数体 Q への制限 μ を持つ。
Z ∩ m = 0 とすると μ(x) = 0 が Q の非零元で成立つことになり、
離散付値の定義(>>546 の 2))に反する。
よって Z ∩ m = pZ である。ここで p は有理素数である。
Z ∩ m = Z ∩ Z[η] ∩ m = Z ∩ P だから
Z ∩ P = pZ である。

Z[η]/P は Z/pZ 上の有限生成加群だから有限群である。
つまり、Z[η]/P は有限整域である。よって Z[η]/P は有限体である。
よって P は極大イデアルである。