命題
A を離散付置環、K をその商体とする。
A は K の部分環として極大である。
つまり K の部分環 B で A ⊂ B となれば B = K または
A = B である。

証明
>>550 より A は K のある離散付値 ν の付値環としてよい。

K の元 x が B に含まれないなら当然 A にも含まれない。
よって ν(x) ＜ 0 だから ν(1/x) ＞ 0 である。
よって 1/x ∈ A だから 1/x ∈ B でもある。

よって B は >>560 の性質 (*) を持つ。
>>560 より B は局所環である。
B の極大イデアルを P とおく。

A ∩ P = 0 とすると、A の非零元は B の可逆元となり、
B = K となる。

A ∩ P ≠ 0 なら、A ∩ P は A の(ただ１つの)極大イデアル m で
ある。
x ∈ B - A とすると、ν(x) ＜ 0 だから ν(1/x) ＞ 0 である。
よって 1/x ∈ m である。よって 1/x ∈ P である。
しかし x ∈ B だから 1 ∈ P となって矛盾。
よって A = B である。
証明終