命題
体 K の有限次拡大体を L とする。
L の離散付値 w が与えられているとする。
>>551 より w の K への制限は K の離散付値νである。
w の付値環を B、その極大イデアルを Q とし、
ν の付値環を A、その極大イデアルを P とする。
A ⊂ B で P = A ∩ Q だから A/P は B/Q の部分体とみなせる。
このとき体の拡大次数 [B/Q : A/P] ≦ [L : K] である。

証明
ω_1, ..., ω_r を B の元で、その mod Q の剰余類が A/P 上
一次独立とする。
ω_1, ..., ω_r が K 上一次独立でないとする。
ω_1, ..., ω_r の自明でない K 上の一次関係式
a_1 ω_1 + ... + a_r ω_r = 0 がある。
ここで a_1, ..., a_r は K の元で a_i ≠ 0 となる i がある。
K は A の商体だから、必要なら各 a_i の分母をはらって、
各 a_i は A の元としてよい。

w(a_1) ,,, w(a_r) の最小が w(a_1) と仮定して一般性を失わない。
a_1 ≠ 0 である。

上の等式の両辺を a_1 で割り

ω_1 + (a_2/a_1) ω_2 ... + (a_r/a_1) ω_r = 0

(a_i)/(a_1) ∈ A であるから ω_1, ..., ω_r は mod Q で
A/P 上一次独立の仮定に反する。

よってω_1, ..., ω_r は K 上一次独立である。
証明終