命題
体 K の(有限次とは限らない)代数拡大体を L とする。
L の正規離散付値を w とする。
w を K に制限した写像 ν: K → Z ∪ {∞} は K の離散付値である。

証明
唯一自明でないのは ν(K^*) ≠ 0 の証明である。
ν(K^*) = 0 として矛盾を導けばよい。

x ≠ 0 を L の任意の非零元とする。
x の K 上の最小多項式を X^n + a_1 X^(n-1) + ... + a_n とする。
仮定より、各 i で w(a_i) ≧ 0 である。

x^n + a_1 x^(n-1) + ... + a_n = 0
の両辺を x^n で割ると、
1 + a_1 (1/x) + ... + a_n (1/x^n) = 0
よって
1 = -(a_1 (1/x) + ... + a_n (1/x^n))
となる。

これから w(x) ≧ 0 がでる。
何故なら、w(x) ＜ 0 とすると w(1/x) ＞ 0 となる。
よって 上の式の右辺は w の離散付値環の極大イデアルに含まれる。
よって 1 がこの極大イデアルに含まれることになり矛盾となる。

x は L の任意の非零元だから -w(x) = w(1/x) ≧ 0 でもある。
よって w(x) = 0 である。これは >>546 の 2) に反する。
証明終