補題
単項イデアル整域は整閉(前スレ１の578)である。

証明
A を単項イデアル整域とし a, b を A の０でない元で互いに素とする。
n ≧ 1 を有理整数とし、

(a/b)^n + c_1 (a/b)^(n-1) + ... + c_n = 0

とする。ここで各 c_i ∈ A である。
両辺に b^n を掛けると、

a^n + c_1 b a^(n-1) + ... + c_n b^n = 0

となる。

b を割る素元 p があるとする。
a^n は p で割れるから a も p で割れる。これは a と b が素である
という仮定に反する。よって b は A の単元である。
よって a/b ∈ A である。
証明終