補題
A を整域とする。
A = ∩ A_P である。
ここで P は A の極大イデアル全体を動き、A_P は A の P
による局所化である。ここで A_P は A の商体 K の部分環とみなす。

証明
x ∈ ∩ A_P とする。
I = {s; sx ∈ A} とすると I は A のイデアルである。
I ≠ A なら I ⊂ P となる A の極大イデアル P がある。
x ∈ A_P だから s ∈ A - P で sx ∈ A となるものがある。
これは I ⊂ P に矛盾する。
よって I = A である。
よって 1 ∈ I となり x ∈ A となる。
これは ∩ A_P ⊂ A を意味する。
逆の包含関係は明らかである。
証明終