命題
>>510 の定義と記号を使う。
Φ_0 の核を P とする。
Z[θ] の P による局所化 Z[θ]_P は離散付値環である。

証明
Z[θ]_P は明らかにネーター局所整域である。
>>534 より P(Z[θ]_P) が単項イデアルであることを示せばよい。

>>510 より P = (p, g_0(θ)) である。

f(X) ≡ g_0(X)...g_(e-1)(X) (mod p) だから
g_0(θ)g_1(θ)...g_(e-1)(θ) = p h(θ) となる h(θ) ∈ Z[θ]
がある。
>>512 のように Ψ(θ) = g_1(θ)...g_(e-1)(θ) とおく。
Φ_0(Ψ(θ)) ≠ 0 である。

g_0(θ) = p h(θ)/Ψ(θ) ∈ p(Z[θ]_P) である。
よって P(Z[θ]_P) = p(Z[θ]_P) である。
証明終