命題
体でないネーター局所整域の極大イデアルが単項イデアル
であれば、それは離散付値環である。

証明
A を体でないネーター局所整域、 m をその極大イデアル、t をその
生成元とする。A は体でないから t ≠ 0 である。
I = ∩m^n とする。ここで n は 1 以上の有理整数をすべて動く。
>>533 より I = 0 を示せばよい。

x ∈ I なら 任意の n ≧ 1 にたいして x = (t^n)y_n となる
y_n ∈ A がある。
x = (t^n)y_n = (t^(n+1))y_(n+1) だから y_n = t(y_(n+1)) となる。
よって (y_n) ⊂ (y_(n+1)) である。
n は任意であり A はネーター環だから (y_k) = (y_(k+1)) となる
k がある。よって y_(k+1) = u(y_k) となる u ∈ A がある。
y_k = t(y_(k+1)) だから y_k = tu(y_k) となる。
(1 - tu)y_k = 0 である。1 - tu は m に含まれないから A の可逆元
である。よって y_k = 0、即ち x = 0 である。
結局 I = 0 である。
証明終