補題
体でない局所整域 A の極大イデアル m が単項イデアルで
0 = ∩m^n とする。ここで n は 1 以上の有理整数をすべて動く。
このとき A は離散付値環(前スレ１の645)である。

証明
t を m の生成元とする。A は体でないから t ≠ 0 である。
x を m に含まれる 0 でない元とする。
∩m^n = 0 だから x ⊂ m^n となる最大の n ≧ 1 がある。
x = (t^n)u とすれば u は m に含まれないので A の可逆元である。
n = ord(x) と書く。

I を m に含まれる 0 でないイデアルとする。
{ord(x); x ∈ I - {0} } の最小元を n として
y を n = ord(y) となる I の元とする。
x ∈ I - {0} なら ord(x) ≧ n だから x ∈ (t^n)A = yA である。
よって I = yA である。
m に含まれないイデアルは A のみだから、A は単項イデアル整域
である。よって A は離散付値環である。
証明終