命題
A を環、M を A-加群とする。
B を平坦な A-代数(前スレ２の>>221)とする。
φ: A → B を A-代数 B の構造射とする。
A の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列 であるとき、
B の元の列 φ(x_1), ..., φ(x_r) は B-加群 M(x)B に関して
の正則列である。

証明
M(x)B = M_B とおき、
各 i = 1, ..., r に対して M_i = M/(x_1M + ... x_iM) とおく。
さらに M_0 = M とする。
x_i は M_(i-1) に関して正則だから、

0 → M_(i-1) → M_(i-1) → M_(i-1)/x_iM_(i-1) → 0

は完全列である。ここで、M_(i-1) → M_(i-1) は x_i による乗法
で定義される射である。M_(i-1)/x_iM_(i-1) = M_i に注意する。
B は平坦だから

0 → M_(i-1)(x)B → M_(i-1)(x)B → M_i(x)B → 0

も完全列である。

B は平坦だから M_(i-1)(x)B = M_B/(x_1M_B + ... x_(i-1)M_B)
であり、M_(i-1)(x)B → M_(i-1)(x)B は φ(x_i) による乗法
で定義される射である。
よって、φ(x_i)はM(x)B に関して正則である。
よってφ(x_1), ..., φ(x_r)は B-加群 M(x)B に関して
の正則列である。
証明終