Dedekind の本

Sur la théorie des nombres entiers algébriques.
Paris, Gauthier-Villars 1877

によると、彼は Kummer の理論を一般の代数体に拡張しようとして
彼が言うところの「高次合同の理論」を使って >>524 の結果は得た
らしい。「高次合同の理論」というのは、>>510 で述べたように
f(X) を mod p で既約多項式に分解して素因子を求める方法のことを
さすと思われる。
しかし、それ以上進もうとすると越えることの出来ない困難に遭遇し
長い間停滞していたと書いている。

代数体の主整数環は Z[θ] の形になるとは限らないことがこの困難の
主な原因である。
この困難を Kummer 理論の延長として、つまり因子論の範囲で
越えようとすれば Hensel による p 進数の理論か、Krull に
よる一般付値論が必要になるだろう。