>>521 の続き

命題
h(θ) が 0 でなく、かつ Φ_0 で定まる素因子で割れれば
有理整数 k ≧ 1 があり h(θ) は Φ_0 で定まる素因子で
きっかり k 回割れる。

証明
h(θ) が任意の k ≧ 1 に対してΦ_0 で定まる素因子で
k 回割れるとして矛盾を導く。

(Ψ(θ)^k) h(θ) = (p^k) h_k(θ) となる h_k(θ) ∈ Z[θ] がある。
これと、
(Ψ(θ)^(k+1)) h(θ) = (p^(k+1)) h_(k+1)(θ) から

h_k(θ) = t h_(k+1)(θ) となる。ここで t = p/Ψ(θ) である。

P = Ker(Φ_0) とおく。P は Z[θ] の素イデアルである。
Z[θ] の P における局所化(前スレ１の65 と 88) Z[θ]_P を考える。
Z[θ]_P はネーター環である。
t = p/Ψ(θ) は Z[θ]_P の極大イデアル PZ[θ]_P の元である。

h_k(θ) = t h_(k+1)(θ) だから h_k(θ) で生成される Z[θ]_P の
イデアルを (h_k(θ)) とすれば、(h_k(θ)) ⊂ (h_(k+1)(θ))
である。Z[θ]_P はネーター環だから、ある有理整数 r があり、
(h_r(θ)) = (h_(r+1)(θ)) となる。
よって、h_(r+1)(θ) = u h_r(θ) となる u ∈ Z[θ]_P がある。
h_r(θ) = t h_(r+1)(θ) だから h_r(θ) = tu h_r(θ) となる。
よって (1 - tu) h_r(θ) = 0 である。1 - tu は PZ[θ]_P に
含まれないから Z[θ]_P の可逆元である。よって h_r(θ) = 0 である。
(Ψ(θ)^r) h(θ) = (p^r) h_r(θ) だから h(θ) = 0 となって矛盾。
証明終