命題
A を環とし、I をその極大イデアル、
M を有限生成 A-加群とする。
M ≠ IM とする。
n > 0 を整数とし、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(A/I, M) = 0
であれば、I の元からなる長さ(>>28) n の M-正則列が存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。 M ≠ IM だから M ≠ 0 であり、
Ext^0(A/I, M) = Hom(A/I, M) だから、n = １ のときは、
>>51 で証明されている。
よって n ≧ 2 と仮定する。
Hom(A/I, M) = 0 だから、>>51 より x ∈ I で M-正則なものがある。
x による乗法で定義される射: M → M を考える。
x は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^i(A/I, M) → Ext^i(A/I, M/xM) → Ext^(i+1)(A/I, M)

ここで、i は任意の整数 i ≧ 0 である。
仮定より、0 ≦ i ≦ n - 1 のとき Ext^i(A/I, M) = 0 だから、
0 ≦ i ≦ n - 2 のとき Ext^i(A/I, M/xM) = 0 である。
N = M/xM とおけば IN = (IM + xM)/xM = IM/xM である。
よって N ≠ IN である。
帰納法の仮定を M/xM に適用すれば、I の元からなる長さ n - 1 の
(M/xM)-正則列 x_2, ..., x_n が存在する。
よって、x, x_2, ..., x_n は I の元からなる M-正則列であり、
長さは n である。
証明終