>>515 の続き

補題
g(θ) が Φ_0 で定まる素因子できっかり k 回割れ
h(θ) が Φ_0 で定まる素因子できっかり l 回割れるとする。
このとき、g(θ)h(θ) は Φ_0 で定まる素因子できっかり
k + l 回割れる。

証明
(Ψ(θ)^k) g(θ) ≡ 0 (mod p^k) だから、
(Ψ(θ)^k) g(θ) = (p^k) U(θ) となる U(θ) ∈ Z[θ] がある。
同様に、
(Ψ(θ)^l) h(θ) = (p^l) V(θ) となる V(θ) ∈ Z[θ] がある。
>>515 より U(ζ) と V(ζ) は Φ_0 で定まる素因子で割れない。

(Ψ(θ)^(k+l)) g(θ) h(θ) = p^(k+l) U(θ)V(θ)
であるが、U(θ)V(θ) は Φ_0 で定まる素因子で割れない。
よって、>>515 より g(θ)h(θ) はきっかり k + l 回割れる。
証明終