>>506 の続き

Z[ζ] からΩへの環準同型Φで Φ(η_0) = u_0 (mod p) となるもの
の存在を言わないと、>>506 の方法は成立たない。

以下にその証明を行う。
H(X) は有理整数係数であり Q[X] で既約であるから
Z[η_0] から Z/pZ への環準同型φで φ(η_0) = u_0 (mod p) と
なるものがある。ζ は Z 上整だから Z[η_0] 上整でもある。
前スレ１の520の定理(Cohen-Seidenberg) より、Z[ζ] の素イデアル P
で Ker(φ) = Z[η_0] ∩ P となるものがある。
Z[ζ]/P は有限環だから P は極大イデアルである。
よって Z[ζ]/P は有限体である。よって上のようなΦが存在する。

Cohen-Seidenbergの定理を使わない以下のような証明もある。
Z[η_0]/Ker(φ) は Z/pZ と同型だから Ker(φ) は Z[η_0] の
極大イデアルである。
Z[ζ] = Z[η_0][ζ] は Z[η_0]-加群として有限生成である。
よって、中山の補題(前スレ１の242)より Ker(φ)Z[ζ] ≠ Z[ζ] である。
よって、Ker(φ)Z[ζ] を含む Z[ζ] の極大イデアル P がある。
Ker(φ) ⊂ P で Ker(φ) は Z[η_0] の極大イデアルだから、
Ker(φ) = Z[η_0] ∩ P である。