一般に奇素数λと素数 p ≠ λが与えられたとき、
p を割る Z[ζ] の素因子は以下のような方針で求めることが出来る。
p の mod λの指数を f とする。
η_0, ..., η_(e-1) を f 項周期とする。

H(X) = (X - η_0)(X - η_1)...(X - η_(e-1))
とおけば H(X) は有理整数係数であり Q[X] で既約である
(演習問題とする)。

H(X) ≡ 0 (mod p) の根の１つを u_0 (mod p) とする。

一方

(η_0)^i = Σa_(i,j)η_j

0 ≦ i ≦ e-1
0 ≦ j ≦ e-1
a_(i,j) ∈ Z
とする。

これから mod p の連立一次合同方程式が得られる。

(u_0)^i ≡ Σa_(i,j)u_j (mod p)
0 ≦ i ≦ e-1
0 ≦ j ≦ e-1

det(a_(i,j)) が mod p で 0 でなければ、
u_1, ..., u_(e-1) が mod p で求まる。

Φ(η_i) = u_i (mod p) と定義することにより、
１つの素因子が得られる。
他の素因子はこれから自動的に定まる(>>354)。