>>504 の続き

Φを Z[ζ] からΩへの環準同型とする。
ここでΩは Z/19Z の代数的閉包である。
Φ(H(θ_0)) = H'(Φ(θ_0)) = 0 である。
ここで H'(X) は H(X) を mod 19 で還元したものである。
Φ(θ_0) ∈ Z/19Z だから(>>351, >>352)
Φ(θ_0) = 4 (mod 19) または -5 (mod 19) である。

Φ(θ_0) = 4 (mod 19)とすれば、
Φ(θ_1) = -5 (mod 19) である。
このΦにより Z[ζ] の１つの素因子が得られる(>>394)。

もう１つの素因子は
Φ_1(θ_0) = -5 (mod 19)
Φ_1(θ_1) = 4 (mod 19) である(>>354)。
(X - ζ)(X - ζ^4) = X^2 - (θ_0)X + 1
であるが、
この両辺の係数にΦを作用させると、
(X - ω)(X - ω^4) = X^2 - 4X + 1
ただし、Φ(ζ) = ω とおいた。
同様に
(X - ζ^2)(X - ζ^3) = X^2 - (θ_1)X + 1
より
(X - ω^2)(X - ω^3) = X^2 + 5X + 1

よって
X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 ≡ (X^2 - 4X + 1)(X^2 + 5X + 1) (mod 19)
となる。

つまり、左辺の多項式の mod 19 での既約分解が得られる。