命題
A をネーター環とし、M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
dim(M) = 0 と M の長さが有限なことは同値である。

証明
dim(M) の定義(前スレ２の943)より、dim(M) = dim(A/Ann(M)) である。
一方、前スレ１の161より、Supp(M) = V(Ann(M)) である。
よって、dim(M) = 0 は Supp(M) の元がすべて極大イデアルである
ことと同値である。

前スレ１の99より Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。
よって、Supp(M) の元がすべて極大イデアルであるなら、
Ass(M) の元もすべて極大である。
よって、 前スレ１の345より M は長さ有限である。

逆に M が長さ有限とすると、前スレ１の344より
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。
証明終