命題
A, B を円分整数環 Z[ζ] の(互いに素とは限らない)因子とする。
N(AB) = N(A)N(B) である。

証明
A = (P_1)^(n_1)...(P_r)^(n_r)
B = (P_1)^(m_1)...(P_r)^(m_r)
とする。ここで各 P_i は互いに異なる素因子であり、
n_i, m_i ≧ 0, である。

>>497 と >>498 より N(A) = N(P_1)^(n_1)...N(P_r)^(n_r)
N(B) = N(P_1)^(m_1)...N(P_r)^(m_r) となる。
同様に N(AB) = N(P_1)^(n_1 + m_1)...N(P_r)^(n_r + m_r) となる。
従って N(AB) = N(A)N(B) である。
証明終