補題
A, B を円分整数環 Z[ζ] の因子で互いに素とする。
N(AB) = N(A)N(B) である。

証明
Z[ζ] の元 x にそれが属す Z[ζ]/I(A) の剰余類を対応させる
準同型写像を φ_1 とする。
同様に、[ζ] の元 x にそれが属す Z[ζ]/I(B) の剰余類を対応させる
準同型写像を φ_2 とする。

Z[ζ] から環の直積 Z[ζ]/I(A) × Z[ζ]/I(B) への写像 Φ を
Φ(x) = (φ_1(x), φ_2(x)) で定義する。
これは環準同型写像である。
>>471(中国式剰余定理) よりΦは全射である。
Φの核は I(A) ∩ I(B) = I(AB) である。
よって、Z[ζ]/I(AB) は Z[ζ]/I(A) × Z[ζ]/I(B) と同型である。
よって、N(AB) = N(A)N(B) である。
証明終