補題
P を 円分整数環 Z[ζ] の素因子、π を円分整数で P できっかり１回
割れるものとする。n を有理整数 ≧ 0 とする。
Z[ζ]/I(P) の各剰余類から代表元を取り出して１つの代表系Γを作る。
任意の円分整数 α に対して
α ≡ γ_0 + γ_1π + ... + γ_nπ^n (mod P^(n+1))
となる、Γの元の列γ_0, ..., γ_n が一意に存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 0 のときは明らかである。
n ≧ 1 として n - 1 のときに補題は正しいと仮定する。
α - (γ_0 + γ_1π + ... + γ_(n-1)π^(n-1)) ≡ 0 (mod P^n)
となるγ_0, ..., γ_(n-1) が一意に存在する。

α - (γ_0 + γ_1π + ... + γ_(n-1)π^(n-1)) をδとおく。

>>460 より
δ ≡ (π^n)β (mod P^(n+1))
となる円分整数βが存在する
β ≡ γ_n (mod P) となる γ_n ∈ Γ が存在する。
(π^n)β ≡ (π^n)γ_n (mod P^(n+1)) である。
よって δ ≡ (π^n)γ_n (mod P^(n+1))
これで γ_n の存在がいえた。

γとγ'をΓの元で
(π^n)γ ≡ (π^n)γ' (mod P^(n+1)) とする。
(π^n)(γ - γ') ≡ 0 (mod P^(n+1))
π^n はきっかり P^n で割れるから γ ≡ γ' (mod P) である。
よって γ = γ' である。
これで γ_n の一意性がいえた。
証明終