>>490 の続き

p を割る素因子の集合を S = {P_0, ..., P_(e-1)}
とする。P_0 = P とする。
Z[ζ] の自己同型群を G とする。
>>488 より G は位数 λ- 1 の巡回群である。

>>483 により G は S に作用する。
さらに >>490 より G は S に推移的に作用する。
P の固定化部分群 H は >>489 より G の位数 f の部分群である。

G/H の代表元を τ_0, ..., τ_(e-1) とし、τ_0 = 1 とする。
τ_i(P) = τ_j(P) とすると
(τ_i)(τ_j)^(-1) ∈ H だから τ_i = τ_j である。
よって、τ_0(P), τ_1(P), ..., τ_(e-1)(P) は互いに異なる。
よって、集合 {τ_0(P), τ_1(P), ..., τ_(e-1)(P)} は S と一致
する。このことからも、G は S に推移的に作用することが分かる。

A = Πτ(P) とおく。ここでτは Z[ζ] の自己同型のすべてを動く
ものとする。

A は τ_0(P)τ_1(P)...τ_(e-1)(P) を f 回掛けたものである。
一方、p が定める因子(>>421) div(p) はτ_0(P)τ_1(P)...τ_(e-1)(P)
である。
よって A = div(p)^f = div(p^f) である。