>>488 の続き

Z[ζ] の自己同型τに対して τ(P) = P とする。
τ(ζ) = ζ^i とする。ここで i は有理整数で 1 ≦ i ≦ λ - 1
である。

G_0(X) を有理整数係数のモニックな多項式で、それを mod p で還元
したものが g_0(X) となるようなものとする。
Φ(G_0(ζ)) = g_0(ω) = 0 だから G_0(ζ) ≡ 0 (mod P) である。
よって、τ(G_0(ζ)) ≡ 0 (mod P) である。
よって Φ(τ(G_0(ζ))) = g_0(ω^i)) = 0 である。
ω^i = ω^(p^t) となる有理整数 t, 0 ≦ t ≦ f - 1 がある。
p^t ≡ i (mod λ) である。
p^(tf) ≡ i^f (mod λ) である。

p^f ≡ 1 (mod λ) だから p^(tf) ≡ 1 (mod λ) である。
よって i^f ≡ 1 (mod λ) である。
よって (τ^f)(ζ) = ζ^(i^f) = 1
よって τ^f = 1 である。

つまり P を不変にする Z[ζ] の自己同型の位数は f の約数である。
>>488 より P を不変にする Z[ζ] の自己同型で位数が f のものがある。

Z[ζ] の自己同型群を G とする。G は位数 λ - 1 の巡回群である。
以上から、P を不変にする Z[ζ] の自己同型のなす部分群は
(ただ１つの)位数 f の巡回部分群である。