>>487 の続き

r を mod λ の原始根とする。
σ を Z[ζ] の環としての自己同型で σ(ζ) = ζ^r となる
ものとする。
Z[ζ] の自己同型群は σ で生成される位数 λ- 1 の巡回群である。

p ≡ r^k (mod λ) となる有理整数 k で 1 ≦ k ≦ λ- 2 となるもの
がある。σ^k(ζ) = ζ^p である。σ^k の位数は f である。

Φを Z[ζ] から Ω への準同型で Φ(ζ) = ω となるものとする。
Φ は素因子 P を定める。

Φ(f(ζ)) = f'(ω) = 0 とする。つまり、f(ζ) ≡ 0 (mod P) とする。
ここで f(X) は Z 係数の多項式で
f'(X) は f(X) の係数を mod p で還元したもの。
f'(X) は g_0(X) で割れる。よって、f'(ω^p) = 0 である。

Φ(σ^k(ζ))) = Φ(f(ζ^p)) = f'(ω^p) = 0

つまり f(ζ) ≡ 0 (mod P) なら σ^k(f(ζ)) ≡ 0 (mod P)

逆に、Φ(σ^k(ζ))) = 0 なら、f'(ω^p) = 0 だから、
g_0(X) は、ω^p の最小多項式でもあるから、
f'(X) は g_0(X) で割れる。よって、Φ(f(ζ)) = f'(ω) = 0 である。

つまり σ^k(f(ζ)) ≡ 0 (mod P) と f(ζ) ≡ 0 (mod P) は
同値である。
よって σ^(-k)(P) = P である。
つまり、P = σ^k(P) である。