>>486 の続き

ωの Z/pZ 上のモニックな最小多項式を g_0(X) とする。
1 + X + ... + X^(λ-1) は g_0(X) で割れる。

u(ω) = ω^p, u^2(ω) = ω^(p^2), ..., u^(f-1)(ω) = ω^(p^(f-1))
は g_0(X) の根である。K は Z/pZ 上ωで生成されるから u は
u(ω) で決まる。u の位数は f だから ω, ω^p, ..., ω^(p^(f-1))
は相異なる。よって、これ等は g_0(X) の根のすべてである。

ω, ω^p, ..., ω^(p^(f-1)) 以外の 1 + X + ... + X^(λ-1) の根の
任意の１つをω_1 とする。
ω_1 の Z/pZ 上のモニックな最小多項式を g_1(X) とする。
上と同様に ω_1, (ω_1)^p, ..., (ω_1)^(p^(f-1)) は g_1(X) の根の
すべてである。これ等の根は g_0(X) の根では有り得ない。

以上の処理を繰り返すと、1 + X + ... + X^(λ-1) は
e = (λ- 1)/f 個の既約多項式 g_0(X), g_1(X), ..., g_(e-1)(X)
の積に分解する。各 g_i(X) の次数は f である。
各 g_i(X) の任意の二つの根は Z/pZ 上共役である。