>>485 の続き

u を u(x) = x^p で定義される K のそれ自身への写像とする。
>>322 より u は K/F の自己同型写像である。
ここで、 F = Z/pZ である。

K の乗法群の位数は p^f - 1 だから、K の乗法群の任意の元 x
に対して x^(p^f - 1) = 1 となる。両辺に x を掛けると
x^(p^f) = x である。この等式は x = 0 のときも成立つ。
これは u^f(x) = x を意味する。つまり u^f = 1 である。

u^r = 1 となる整数 r で 1 ≦ r ＜ f となるものがあったとする。
すると x^(p^r) = x が K の任意の元で成立つ。
つまり p^r 次の多項式 X^(p^r) - X が p^f 個の根を持つ。
p^r ＜ p^f だから、これは有り得ない。

よって 1, u, u^2, ..., u^(f-1) は K/F の相異なる自己同型である。
K/F の次数は f だから K/F の自己同型はこれ等で尽くされる。