p を有理素数で p ≠ λとし、 f を mod λでの p の指数とする。
e = (λ- 1)/f とおく。
P を Z[ζ] の素因子で p を割るとする。

有限素体 Z/pZ の代数的閉包をΩとする。
Ωにおける X^λ - 1 の根で１以外の任意の１つをωとする。
X^λ - 1 の根の全体は 1, ω, ω^2, ..., ω^(λ-1) である。
Z/pZ とωで生成されるΩの部分体を K とおく。
K の Z/pZ 上の次数は f である。
このことは>>347で示したが、復習の意味でもう一度証明しよう。

K の Z/pZ 上の次数を n とする。K の元の個数は p^n である。
よって K の乗法群の位数は p^n - 1 である。
ωは K の乗法群の位数 λ の元だから、p^n - 1 は λ で割れる。
よって、n は f で割れる。
>>326 より p^f 個の元からなる K の部分体 L がある。
L の乗法群は位数 p^f - 1 の巡回群であり p^f ≡ 1 (mod λ) だから
L の乗法群には位数λの元が存在する。よって、ωは L に含まれる。
よって、K = L である。よって、n = f である。