命題
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
I の元の列 x_1, ..., x_r が M-正則列(前スレ２の941)で
depth(I, M) が有限なら
depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。

証明
r に関する帰納法を使う。
r = 1 のときは >>47 で証明されている。

r > 1 とする。
N = M/x_1M とおく。
>>47 より depth(I, N) = depth(I, M) - 1 だから、
depth(I, N) は有限である。
x_2, ..., x_r は N-正則列だから、帰納法の仮定より、
depth(I, N) = depth(I, N/(x_2N + ... + x_rN)) + r - 1 となる。

depth(I, N) = depth(I, M) - 1 であり、
N/(x_2N + ... + x_rN) = M/(x_1M + ... + x_rM) であるから、
depth(I, M) - 1 = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r - 1 となる。
よって、depth(I, M) = depth(I, M/(x_1M + ... + x_rM)) + r となる。
証明終