補題
Z[ζ] の素因子 P と有理整数 n ≧ 1 に対して P^n で割れる
円分整数全体 I(P^n) は I(P)^n に等しい。

証明
P = div(ζ - 1) のときは明らかだから、P ≠ div(ζ - 1) とする。
P を割る有理素数を p とする。
p を割る P 以外の素因子を P_1, ..., P_(e-1) とする。

>>453 より 円分整数 ψで P できっかり一回割れ、
P_i, i = 1, ..., e-1 では割れないものが存在する。

>>454 より P は p と ψ の最大公約因子である。
>>472 より I(P) は p と ψ で生成される。
よって I(P)^n は {p^iψ^j; i + j = n} で生成される。
素因子 Q が集合 {p^iψ^j; i + j = n} の任意の元を割るとする。
Q は p^n を割るから p を割る。よって Q は P または
P_1, ..., P_(e-1) のどれかである。

ψ^n は Q で割れるから ψ は Q で割れる。よって Q = P である。

P^k が集合 {p^iψ^j; i + j = n} の任意の元を割るとする。
ψ^n は P^k で割れるから n ≧ k である。
集合 {p^iψ^j; i + j = n} の各元が P^n で割れることは明らか。
よって {p^iψ^j; i + j = n} の最大公約因子は P^n である。
>>472 より I(P^n) = I(P)^n である。
証明終