補題
Z[ζ] のイデアルは有限生成である。

証明
Z[ζ] がネーター環であることは周知だし、有限生成アーベル群の
部分群は有限生成であることからも分かるが、ここでは別証明を述べる。

I を Z[ζ] のイデアルとする。I ≠ 0 と仮定してよい。
α ≠ 0 を I の元とする。Nα ∈ I である。
n = Nα とおく。 Z[ζ] の加法群は階数 λ-1 の自由アーベル群
だから Z[ζ]/nZ[ζ] は n^(λ-1) 個の剰余類からなる。
よって I/nZ[ζ] の剰余類の個数は有限である。
β_1, ..., β_r を I/nZ[ζ] の各剰余類の代表元とする。
γ ∈ I なら γ ≡ β_i (mod nZ[ζ]) となる β_i がある。
つまり γ は β_iZ[ζ] + nZ[ζ] に含まれる。
よって I は β_1, ..., β_r と n で生成される。
証明終