命題
A, B を Z[ζ] の因子とし、C を A と B の最大公約因子とする。
Z[ζ] の元 c が C で割れれば A で割れる元 a と B で割れる元 b
があり、c = a + b となる。

証明
A = CA'
B = CB'
となる因子 A', B' がある。
A' と B' は素である。
よって、>>468 より
b' ≡ 1 （mod A')
b' ≡ 0 （mod B')
となる b' がある。

a' = 1 - b'
とおけば、
a' ≡ 0 （mod A')
で
a' + b' = 1

この両辺に c を掛けて

c = ca' + cb'

ca' は CA' = A で割れ、cb' は CB' = B で割れる。
よって a = ca', b = cb' が求めるものである。
証明終