補題
A_1, ..., A_r を Z[ζ] の因子で、どの二つも互いに素とする。
このとき以下の合同式を満たす Z[ζ] の元 x_1, ..., x_r がある。

x_i ≡ 1 (mod A_i), i = 1, ..., r
x_i ≡ 0 (mod A_j), j ≠ i のとき。

証明
各 i に対して
B_i = ΠA_j とする。ここで 積は j ≠ i となる j 全体を動く。
A_i と B_i は素だから >>468 より
x_i ≡ 1 (mod A_i)
x_i ≡ 0 (mod B_i)
となる x_i がある。
x_i は j ≠ i のとき A_j で割れるからこれが求めるものである。
証明終