命題
A を環、M を A-加群、I を A のイデアルとする。
x を I の元で M-正則とする。
depth(I, M) が有限なら、depth(I, M/xM) = depth(I, M) - 1 となる。

証明
depth(I, M) = n とおく。
x による乗法により次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → Ext^p(A/I, M)

depth(I, M) の定義(>>46)より
p ≦ n - 1 のとき Ext^(p-1)(A/I, M) = 0 だから

0 → Ext^(p-1)(A/I, M/xM) → 0

が完全となり、Ext^(p-1)(A/I, M/xM) = 0 となる。

p = n のときは、Ext^(n-1)(A/I, M) = 0 だから次の完全列が得られる。

0 → Ext^(n-1)(A/I, M/xM) → Ext^n(A/I, M) → Ext^n(A/I, M)

>>32 より Ext^n(A/I, M) → Ext^n(A/I, M) は x による乗法で
引き起こされ、>>30 より xExt^n(A/I, M) = 0 だから、
Ext^(n-1)(A/I, M/xM) → Ext^n(A/I, M) は同型である。
よって Ext^n(A/I, M) ≠ 0 だから Ext^(n-1)(A/I, M/xM) ≠ 0 である。
よって、depth(I, M/xM) = n - 1 である。
証明終