>>466 の変形として、

補題
A, B, C を Z[ζ] の因子で、 B と C は互いに素とする。
以下の合同式を満たす Z[ζ] の元 x, y があるとする。

x ≡ 1 (mod A)
x ≡ 0 (mod B)

y ≡ 1 (mod A)
y ≡ 0 (mod C)
このとき、
z ≡ 1 (mod A)
z ≡ 0 (mod BC)
となる Z[ζ] の元 z がある。

証明
1 - x ≡ 0 (mod A)
1 - x ≡ 1 (mod B)

1 - y ≡ 0 (mod A)
1 - y ≡ 1 (mod C)

だから >>466 より
s ≡ 0 (mod A)
s ≡ 1 (mod BC)
となる s がある。

z = 1 - s とおけばよい。
証明終