補題
A, B, C を Z[ζ] の因子で、 B と C は互いに素とする。
以下の合同式を満たす Z[ζ] の元 x, y があるとする。
x ≡ 0 (mod A)
x ≡ 1 (mod B)

y ≡ 0 (mod A)
y ≡ 1 (mod C)
このとき、
z ≡ 0 (mod A)
z ≡ 1 (mod BC)
となる Z[ζ] の元 z がある。

証明
t = 1 - x
s = 1 - y とおけば、
x + t = 1
y + s = 1 となる。
(x + t)(y + s) = 1 の左辺を展開して
xy + xs + yt + ts = 1

z = xy + xs + yt とおけば
z ≡ 0 (mod A) で
z - 1 = -st となる。
-st は B と C で割れ、B と C は互いに素だから
BC で割れる。よって
z ≡ 1 (mod BC)
証明終