命題
A, B を Z[ζ] の因子とする。
A で割れる円分整数はかならず B で割れるとする。
このとき A は B で割れる。

証明
A を割る素因子で割れる有理素数の集合を {p_1, ..., p_r} とする。
各 i に対して p_i を割る A の素因子の重複度を考慮した積を A_i
とする。 A = (A_1)...(A_r) である。

p_i の十分高い冪は A_i で割れる。
よって (p_1)...(p_r) の十分高い冪は A で割れ、従って B でも
割れる。よって B の素因子は、ある p_i を割る。
各 i に対して p_i を割る B の素因子の重複度を考慮した積を B_i
とする。ただし、p_i を割る B の素因子が存在しないときは B_i は
単位因子とする。以上から B = (B_1)...(B_r) である。

円分整数 α が A_1 で割れるとする。(p_2)...(p_r) の十分高い冪は
(A_2)...(A_r) で割れるから、有理整数 n ≧ 1 を十分大きくとれば
α((p_2)...(p_r))^n は A で割れ、従って B でも割れる。
p_1 を割る B の素因子は ((p_2)...(p_r))^n を割らない。、
よって α は B_1 で割れる。
よって >>457 から A_1 は B_1 で割れる。
同様にして他の A_i も B_i で割れる。
よって A は B で割れる。
証明終