補題
P を 円分整数環 Z[ζ] の素因子とする。
円分整数 α が P で割れなければ、任意の有理整数 n ≧ 1 で
αβ ≡ 1 (mod P^n) となる円分整数βが存在する。

証明
n に関する帰納法を使う。
円分整数環 Z[ζ] の mod P の剰余類全体は体をなすから
n = 1 のときは明らか。
n ≧ 1 とし、αγ ≡ 1 (mod P^n) となる円分整数γが存在すると
仮定する。

π を円分整数で P できっかり１回割れるものとする。
このようなπとしては、P がλを割るときは、π = ζ- 1
とし、P がλと異なる有理素数 p を割るときは >>404 から
π = p とすればよい。

>>460 より αγ - 1 ≡ (π^n)δ (mod P^(n+1)) となる円分整数δが
存在する。
α は P で割れないから、ακ ≡ δ (mod P) となるる円分整数κが
存在する。

α(γ - (π^n)κ) - 1 ≡ (π^n)(δ - ακ) ≡ 0 (mod P^(n+1))
よって β = γ - (π^n)κ とおけば
αβ ≡ 1 (mod P^(n+1)) となる。
証明終