補題
P を 円分整数環 Z[ζ] の素因子、π を円分整数で P できっかり１回
割れるものとする。n を有理整数 ≧ 1 とする。
円分整数 α が P^n で割れれば
α ≡ (π^n)β (mod P^(n+1)) となる円分整数βが存在する。

証明
P がλを割るときは、 P = (ζ- 1) である。
よって α = ((ζ- 1)^n)β となる円分整数βが存在する。
このとき、当然 α ≡ (π^n)β (mod P^(n+1)) である。

よって P を割る有理素数 p はλと異なるとする。
>>409 より f 項周期から構成される円分整数 Ψ(η) で次の
条件 1), 2) を満たすものが存在する。
1) Ψ(η) は P で割れない。
2) Ψ(η) は p を割る他の素因子で割れない。

α は P^n で割れるから (Ψ(η))^n α = (p^n)γ となる円分整数γが
存在する(>>403)。

同様に (Ψ(η))^n (π^n) = (p^n)δ となる円分整数δが存在する。
π^n はきっかり P^n で割れるから δ は P で割れない。
円分整数環 Z[ζ] の mod P の剰余類は体をなすから
δβ ≡ γ (mod P)
となる円分整数βが存在する。

(Ψ(η))^n (α - (π^n)β) = (p^n)(γ - δβ)
の右辺、よって左辺は P^(n+1) で割れる。
(Ψ(η))^n は P で割れないから α - (π^n)β は P^(n+1) で割れる。
証明終