補題
p を有理素数とする。
A, B を Z[ζ] の因子で、それぞれ p を割る素因子のみで割れる
とする。
さらに A で割れる円分整数はかならず B で割れるとする。
このとき A は B で割れる。

証明
p = λ のときは明らかなので p ≠ λ とする。
p の mod λ の指数を f とする。

p を割る相異なる素因子を P_0, P_1, ..., P_(e-1) とする。
>>453 を各 P_i に適用すると、各 i, i = 0, 1, ..., e-1 に対して
f 項周期から構成される円分整数 ψ_i(η) で
以下の条件を満たすものが存在する。

1) ψ_i(η) は P_i できっかり一回割れる。
2) i ≠ j のとき ψ_i(η) は P_j で割れない。

A = (P_0)^(n_0)...(P_(e-1))^(n_(e-1)) とする。
ψ_i(η)^n_i, i = 0, 1, ..., e-1 の積を P(η) とおく。
P(η) は 各 i できっかり (P_i)^(n_i) で割れる。

P(η) は A で割れるから B でも割れる。

各 i に対して B がきっかり (P_i)^m で割れるとする。
P(η) は (P_i)^m で割れる。
よって n_i ≧ m である。
よって、 A は B で割れる。
証明終