代数的整数論 #003
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0427Kummer ◆g2BU0D6YN2
2006/07/14(金) 14:50:47有理整数 n > 1 は >>426 の条件(*) を満たす。
証明
>>426 より n が素数 のときに証明すればよい。
n が λ と異なる素数 p のときは div(p) = (P_0)...(P_(e-1))
である。ここで 各 P_i は p を割る素因子である。
これは >403 の命題 4) より 各 P_i は p をきっかり1回割ること
から分かる。
div(f(ζ)) が div(p) で割れれば、>>401 の最後より f(ζ) は
p で割れる。よって p は >>426 の条件(*) を満たす。
n = λ のときは div(λ) = L^(λ-1) である。
ここで、L は 円分素数 ζ - 1 で定まる素因子(>>411, >>419)である。
div(f(ζ)) が L^(λ-1) で割れれば、f(ζ) は (ζ- 1)^(λ-1)
で割れる(>>411)。λ/(1 - ζ)^(λ-1) は単数だから(>>200)、
f(ζ) は λ で割れる。
よって λ も >>426 の条件(*) を満たす。
証明終
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