次の定理およびそれから直に得られる系は Kummer の理想数の理論の
基本定理というべきものである。

定理
円分整数 f(ζ) ≠ 0, g(ζ) ≠ 0 に対して、
div(f(ζ)) が div(g(ζ)) で割れるなら f(ζ) は g(ζ) で割れる。

系
div(f(ζ)) = div(g(ζ)) なら f(ζ)/g(ζ) は円分単数である。

この系の証明は明らかだろう。

この定理の証明のためいくつかの補題を証明する。