>>415 において p ≠ λ とする。
すると >>415 の Φ は >>401 のΦ_0 と同じものと考えてよい。
よって >>409 から >>402 の条件 1), 2) を満たす Ψ(η) が
存在する。

f(ζ) ≠ 0 を円分整数とし、>>403 の意味で f(ζ) が Φ_0 で定まる
素因子できっかり k 回割れるとする。
(Ψ(η)^k) f(ζ) ≡ 0 (mod p^k) だから、
(Ψ(η)^k) f(ζ) / p^k は 円分整数である。
これを h(ζ) とする。
よって (Ψ(η)^k) f(ζ) = (p^k)h(ζ) となる。

>>405 より h(ζ) は Φ_0 で定まる素因子で割れない。
つまり Φ_0(h(ζ)) ≠ 0 である。よって、ν(h(ζ)) = 0 である。
>>402 の条件 1) より Ψ(η) は Φ_0(Ψ(η)) ≠ 0 である。
よって、ν(Ψ(η)) = 0 である。

よって、
ν((Ψ(η)^k) f(ζ)) = ν(f(ζ))
ν((p^k)h(ζ)) = ν((p^k)) = kν(p)

よって ν(f(ζ)) = kν(p) である。

>>403 の 1) より 円分整数 f(ζ) が 0 でなければ、k は非負有理整数
として必ず定まる。 よって >>412 の 条件1) ν(Z[ζ]^*) = Z+
より ν(p) = 1 でなければならない。
よって、ν(f(ζ)) = k である。