>>412 の 1) から ν(f(ζ)) = 1 となる f(ζ) がある。
Nf(ζ)/f(ζ) = g(ζ) は円分整数だから
ν(Nf(ζ)) = ν(f(ζ)) + ν(g(ζ)) ≧ 1 である。
Nf(ζ) ≠ 0 だから、ν で割れる有理整数で 0 でないものがある。
ν で割れる有理整数 n ＞ 0 で最小のものを p とする。
ν(1) = 0 だから p ＞ 1 である。p は素数である。
なぜなら p = ab, a ＞ 1, b ＞ 1 となる有理整数があるとすると、
ab ≡ 0 (mod ν) より a ≡ 0 (mod ν) または b ≡ 0 (mod ν)
となり、p の最小性に反するから。

これと >>414 から Z[ζ] の mod ν の同値類は Z/pZ の拡大整域
となる。ζ を含む同値類を ξ とすれば、この環は Z/pZ 上 ξ
で生成される。つまりこの環は (Z/pZ)[ξ] と書ける。
ω^λ = 1 だから、この環は Z/pZ 上の加群として
1, ω, ..., ω^(λ-1) で生成される。よってこれは有限環である。
有限整域は体であるからこの環は有限体である。
Z/pZ の代数的閉包を Ω とすると、(Z/pZ)[ξ] から Ω へ
体としての埋め込み(単射準同型)が存在する。
Z[ζ] から (Z/pZ)[ξ] への標準的な準同型と
(Z/pZ)[ξ] から Ω への埋め込みの合成をΦとすれば
Φは Z[ζ] から Ω への準同型である。
Φ(f(ζ)) = 0 であるためには f(ζ) が ν で割れることが
必要十分である。